AREA BAJO LA CURVA

 

  1. AREA BAJO LA CURVA
    1. LA FUNCIÓN ES POSITIVA
    2. LA FUNCIÓN ES NEGATIVA
  2. ÁREA ENTRE CURVAS

Considere el área de una región R acotada por la gráfica de image002 , el eje X   y la recta image004 .

image006

El área es un valor entre 0 y 1 por que R está contenida en un cuadrado de longitud 1.

Para dar una mejor aproximación dividimos la región en 4 franjas de igual longitud.

Podemos obtener una aproximación de cada franja por medio de rectángulos cuya base sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la propia franja (rectángulos circunscritos)

image008

image010

image012

image014

image016

http://123.stan.com.mx/material/unidad2/image018.gif

 

 

 

 

 

 

 

Podemos repetir este procedimiento con un número mayor de franjas, por ejemplo con 8 franjas:

image038

 

Se obtendría una mejor estimación para el área de la región R8

image042

Así sucesivamente se puede ir estimando rectángulos mas pequeños para regiones no regulares y como es una suma de rectángulos aquí se puede utilizar la integral definida para calcular el área de una determinada área y se calcula de distintas formas las cuales se explicaran de la siguiente forma:

 

   

LA FUNCIÓN ES POSITIVA

POSITIVA

LA FUNCIÓN ES NEGATIVA

NEGATIVA

   

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LA FUNCION ES POSITIVA

Sea y = f(x) > 0 en todo el intervalo correspondiente al recinto que encierra el área a determinar. Nos interesa el área determinada entre la curva mencionada, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b.

Image72

Cuando el valor de una función continua es positivo en el intervalo a £ x £ b (o sea que la gráfica de f se encuentra por encima del eje x), el área que está acotada por f, el eje x, x = a y x = b se determina resolviendo Image73

 

EJEMPLO 1 : Determine el área determinada entre la curva y = f(x) = x2 - 6x + 10, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 5.

Realizando la gráfica resulta que el área buscada es:

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  El valor se obtiene resolviendo la integral Image75que resulta:

Área = Image76

Área = Image77

Área Image78

El área vale Image170.u²

EJEMPLO 2: Determine el área determinada entre la curva y = g(x) = 6x - x2, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 5.

Realizando la gráfica resulta que el área buscada es:

Image80

Su valor se determina resolviendo la integral Image81.

A =Image82

A = Image83Image84

El área vale Image171.u²

 

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LA FUNCION ES NEGATIVA

Cuando el valor de una función continua f es negativo, el área que está acotada por f, el eje x, x = a y x = b se determina resolviendo Image86.

Image87

EJEMPLO: Determine el área encerrada entre la curva h(x) = x2 - 6x - 1, el eje x y las rectas x = 1 y x = 5. Gráficamente:

Image88

Si realizamos los cálculos:

Image89

Image90

Image91

Image92= Image93

 

 

Cunado tenemos una función que pasa por los dos lados tanto negativo como positivo se resuelven las áreas positivas y negativas respectivas y luego se suman como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Halle Image320

Image319

 

 

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Áreas entre curvas

El área a calcular está comprendida entre la gráfica de y = f(x) e y = g(x), ambas de ordenada positivas en el intervalo de extremos a y b determinados por la intersección de las curvas.

Image69

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Image179.gifPodemos hacer las gráficas de cada una de las funciones que delimitan la región de la cual queremos calcular el área: Image105Image106   

                           

Podemos plantear:Image180

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Determine el área encerrada entre las curvas f(x) = x2 - 6x + 10 y g(x) = 6x - x2.

Realizando la gráfica resulta:

Image94

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Image96.gifObservando las gráficas de f y g en distintos sistemas coordenados podemos ver que el área buscada es la diferencia de las áreas calculadas en los ejemplos anteriores.

Image95

El área es igual al área que determina g(x) con el eje x menos el área que determina f(x) con el mismo eje desde x = 1 hasta x = 5, es decir Image172.

Podemos pensar en calcular el área aplicando la siguiente fórmula:

A = Image175

A = Image176

A = Image191

A modo de conclusión podemos decir que el área se puede calcular sin necesidad de calcular las áreas por separado resolviendo directamente la integral: Image177

CONOCIDOS los puntos de intersección entre las dos curvas el área de la región que las curvas delimitan es la diferencia entre la función que actúa como "techo" o "límite superior" de la región y la función que hace de "piso"o "límite inferior" del área buscada.

Si a y b son las abscisas de los puntos de intersección de las curvas resulta el área total:

A = Image192[función techo - función piso] dx

 

El área a calcular está comprendida entre dos funciones de ordenadas cualesquiera en el intervalo [a, b].

Image113

Para ello buscamos cuánto vale el mínimo absoluto de la función g que es g(x1) y desplazamos verticalmente hacia arriba ambas funciones sumando un valor de ordenada h por lo menos igual al valor absoluto del mínimo hallado.

Image116, que es el trasladado de A, le aplicamos lo visto en (2) y entonces:

Image117

Image183

Image184

 

Conclusión: para calcular el área no es necesario hacer el traslado al semiplano superior, siempre se calcula

Image185

teniendo en cuenta que f(x) ³ g(x).

 

Ejemplo: Determine el área que queda definida entre las curvas h(x) = x2 - 6x - 1 y m(x) = 6x - x2 - 11.

Graficando ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas resulta:

Image109

Si trasladamos la función y = h(x) once unidades hacia arriba resulta y = x2 - 6x + 10 que coincide con la función y = f(x) del ejemplo anterior.

De la misma manera la función y = m(x) trasladada once unidades en sentido positivo genera la función definida por y = 6x - x2 que se superpone con la ley y = g(x) del ejemplo anterior. Así podemos asegurar  que el área encerrada por h(x) y m(x) es la misma que la determinada por f(x) y g(x), es decir, vale Image181.

Si resolvemos siguiendo el mismo criterio que en el ejemplo anterior:

A =Image182

A = Image112

El valor del área coincide con el que ya habíamos determinado.

Ejemplo: Grafique las curvas f(x) = x - x2    y    g(x) = - x en un mismo sistema de ejes y determine el área de la región limitada por ellas.

Graficando ambas curvas en un mismo sistema de ejes obtenemos:

Image121

Hallamos analíticamente la intersección resolviendo el sistema: Image186.

Despejando la variable y de la segunda ecuación e igualando resulta:

x - x2 = - x Þ - x2 + 2x = 0 Þ x1 = 0 , x2 = 2

No es necesario trasladarla hacia el semiplano superior porque ya sabemos que haciendo la integral de la diferencia entre las dos funciones de la manera conveniente encontramos el área buscada.

El área de la región encerrada entre dichas curvas está comprendida entre 0 y 2, y como f(x) > g(x) en ese intervalo, es evidente que:

A =Image187=Image188 = Image189

A =Image126= Image127= Image128

Cunado el área que se va a buscar se delimita de un lado positivo y negativo se procede hacer lo siguiente:

Queremos calcular el área comprendida entre f(x) y g(x).

Image145

Hallamos los puntos de intersección de las dos funciones f y g. Esos puntos son a, b, c y nos determinan una subdivisión del intervalo total en dos subintervalos [a, b] y [b, c]. Si obtenemos la integral definida sobre todo el intervalo de la diferencia de las funciones f y g resulta:

Image203

I es una integral definida pero no representa un área puesImage204 pero Image205. Pero obtendremos el área si hacemos:

Image206   es decir:

Image207

 

 

 

 
Es importante destacar que, en todos los casos, para calcular el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas x = a y x = b se resuelve la
Image208
teniendo en cuenta que f y g son continuas en [a, b] y que además g(x) £ f(x) para todo x del intervalo de trabajo.
 

Ejemplo: encuentre el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x3 + x2 - 2x con el eje de abscisas. Graficamos la curva para obtener gráficamente el área:

Image129

Para hallar las intersecciones con el eje de abscisas calculamos las raíces, planteando f(x) = 0, o sea;

x3 + x2 - 2x = 0 Þ x.(x2 + x - 2) = 0 Þ x1 = 0 , x2 = - 2 , x3 = 1

El área que está sobre el eje de abscisas se determina resolviendoImage193 y el área debajo del eje de abscisas mediante Image194.

Resolviendo las integrales planteadas:

Image195= Image133= Image134= Image135

Image196= Image197= Image137= Image138= Image139

El área buscada resulta la suma de las dos áreas anteriores y es Image140» 3,08.

 

Generalizando la situación anterior:

Image141

El área sombreada surge de la suma de dos áreas A1 y A2:

· f(x) > 0 en el intervalo [a, b] resulta: A1 = Image198

· f(x) < 0 en el intervalo [b, c] resulta: A2 = Image199= Image200

Área = Image201 + Image202

 

El área de la región delimitada por las curvas es Image128.u²

A continuación les mostraremos unos ejemplos de áreas entre curvas y unas sugerencias importantes a la hora de resolver el área entre curvas:

1. Hacer la gráfica de las curvas y dibujar un rectángulo representativo. Esto muestra cual de las dos curvas es image431(curva superior) y cual es y image443(curva inferior). También ayuda a hallar los limites de la integración si aún no se conocen.

2. Hallar los límites de integración.

3. Escribe una formula para image508. Simplifícala si es posible.

4. Integra image510desde a hasta b. El número que obtienes es el área.

Ejemplo:

Calcular el área de la región comprendida entre las curvas image512, image514, image516.

image518

image520

image522

image524image526

Obsérvese que si integramos image528se obtiene:

image530

image532

Por lo tanto   image534image526.

Ejemplo:

Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones image537image514.

image540

image542

Los limites de integración son: a = 0 y b = 1.

image544image546image526

Ejemplo:

Calcular el área de la región acotada por las graficas de image549y image551.

Solución:   image553image555

     image557                        image559

image561

image563image565

Los límites de integración son a = -1 yb = 3.

image567

image569

image571

image573image526

Ejemplo:

Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas image537y image577.

image579

image581

image583

image585

image587image589

image591

image587y   image594

Los límites de integración son:a = 0 y b = 1.

image596

image598

image600

Ejemplo:

Calcule el área de la región acotada por las gráficas de image602, image604, image606.

image608

image610      image604

image613 image615

image587image618image620

image622

Los límites de integración son a = -2 y b = 3

Observe que en ese intervalo la gráfica cambia algunas veces: image474y en otras image625. Cuando eso sucede es importante dividir el intervalo.

image627

image629

image631

image633

 image635

image637

image639

image641

image643

image645

image647

Ejemplo

Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas image649, image651en image653.

image655

image657

image659

image661

Encuentre los valores de C tales que el área de la región encerrada por las gráficas de las parábolas image663image665sea 576.

image667

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image671

image673

image675image677image679

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